|
Nøyaktige beregninger av den prosentvise fordelingen av modersolenes sporlengder utenfor og innenfor storsirkelens periferi. |
|
I løpet av de siste månedene har jeg hatt den store gleden å følge arbeidet til den danske VmL-tilhengeren, Lars Frølund Jensen, som har utviklet en metode for å gjøre nøyaktige beregninger av den prosentvise fordelingen av modersolenes sporlengder utenfor og innenfor storsirkelens periferi. Lars er meget kyndig innen matematikk, og jeg er svært glad for å kunne presentere hans resultater her på min norske VmL-webside. Alle som kjenner til de to ulike måtene å tolke VmLs forklaring av modersolenes bevegelser på - henholdsvis planmodellen og helixmodellen, vil vite at et av de punktene i forklaringen i VmL som det er uenighet om, er at det står at modersolenes bevegelser vil foregå halvveis innenfor og halvveis utenfor storsirkelens periferi. Halvveis innenfor og halvveis utenfor kan vanskelig oppfattes som annet enn at den prosentvise fordelingen skal være 50/50, og jeg har i mine tidligere artikler om emnet vist at planmodellen har den unøyaktigheten, at fordelingen aldri vil kunne bli nøyaktig 50/50 - selv ved meget høye verdier av N (antallet ganger hvert modersolpar roterer i den innbyrdes rotasjonen). Jeg har også vist tidligere at modersolpar a-b, som roterer med uret, vil ha et langt innerspor og et kort ytterspor, mens modersolpar c-d, som roterer mot uret, har et langt ytterspor og et kort innerspor. For å yte planmodellen maksimal rettferdighet, har jeg i mine tidligere beregninger lagt sammen begge yttersporene og begge innersporene før jeg har beregnet hvor stor del av den samlede sporlengden som befinner seg utenfor/innenfor storsirkelens periferi. Det er nemlig slik at "skjevheten" som finnes i modersolpar c-d's fordeling (som er den største) et stykke på vei utlignes av modersolpar a-b's - men aldri fullt ut. Lars har vist meg at det finnes en helt annen måte å tolke det aktuelle avsnittet i VmL på, som gir vel så god mening - og det er å anta at fordelingen 50/50 må gjelde for hvert modersolpar for seg. Det vil si, at forklaringen skal bety at både modersolpar a-b's og modersolpar c-d's bevegelser hver for seg skal foregå halvveis innenfor og halvveis utenfor. Lars har derfor beregnet den prosentvise fordelingen for hvert par for seg - og denne betraktningsmåten viser ennå større forskjeller enn det som fremkommer ved min måte å beregne fordelingen på. |
 |
|
"Delvis forklaring af mine beregningsmetoder, m.m.: Først forsøgte jeg at afklare hvor lange sporene ville være, hvis man tænkte sig at modersolparrenes fælles tyngdepunkter stod helt stille på storcirklen. Dertil brugte jeg et ca. Disse indledende beregninger fik mig til at overveje om det evt. ville være muligt for mig at beregne klodesporenes længde på min computers regneark. Jeg indså at det var realistisk, hvis jeg opdelte beregningen af hvert klodespor i to dele (og lavede nogle tegninger af situationerne). Som udgangspunkt skulle den pågældende modersols tyngdepunkt befinde sig præcis på storcirklen. Jeg ville så beregne x- og y-koordinaterne for dens placering (x og y nulpunkterne bestemte jeg skulle befinde sig i Centralsolens centrum). Derefter ville jeg beregne, hvor modersolen ville befinde sig, hvis en linje, fra modersolparrets fælles tyngdepunkt til Centralsolen, blev drejet en bestemt vinkel (og modersolparret blev flyttet langs storcirklen, uden rotation om parrets fælles tyngdepunkt - her kaldet: r-2 (den "lille" rotation). Når dette var klaret ville jeg finde ud af, hvor modersolens placering ville være på dette tidspunkt, hvis r-2 blev medtaget. (Hvis N er lig med x, vil vinkeldrejningen for r-2 jo være x gange større, end for rotationsbevægelsen langs storcirklen (r-3)). For at kunne beregne sporets længde tilstrækkeligt præcist, ville jeg blive nødt til at lave mange beregninger med forskellig vinkeldrejning, men det er ikke, i sig selv, noget problem, når man har computer-regneark. - Dette var kun en meget forsimplet beskrivelse af de beregninger, som jeg nu har lavet for een af kloderne i hvert par. (Til gengæld er de beregnede spor ført hele vejen rundt med r-2. I princippet kunne man videreføre beregningerne af sporet til mange gange rundt med r-2, ved at tilføje flere kolonner, men resultaterne vil selvfølgelig blive stadig mere unøjagtige !) For at teste om de mest komplicerede dele af udregningerne er korrekte har jeg limet og tapet 10 stykker A-4 millimeterpapir sammen, så jeg kunne indtegne banerne på dette. Kort beskrevet gjorde jeg følgende: Først brugte jeg computerens udregning af koordinaterne for et modersolpars tyngdepunkt, efter at det var flyttet en bestemt vinkel langs storcirklen (dette punkt har jeg kaldt TP1). Derefter markerede jeg udgangspunktet, TP0, på det store millimeter-ark, og målte mig frem til hvor TP1 var placeret (ca. 50 til Faktisk kunne man godt bestemme Px-koordinaterne, temmelig præcist, kun med hjælp af millimeterpapir, blyant, vinkelmåler og en tilstrækkelig stor passer - hvis man kendte vinkel-drejningen, som linjen fra centrum i centralsolen til modersolparrets tyngdepunkt foretager under modersolens bevægelse - og N var kendt (den lille vinkeldrejning kunne man jo let udregne i mange tilfælde). Hvis man kender mange Px-punkter i banen kan man forbinde dem med rette linjer, og derved have et godt billede af banen (og det vil jo umiddelbart fremgå om et bestemt punkt er udenfor eller indenfor storcirklen)." |
| På denne illustrasjonen, som er laget på grunnlag av Jørgen Degns animasjon av modersolsporene i planmodellen, kan man tydelig se forskjellen i planetsporenes lengde innenfor og utenfor storsirkelens periferi. Storsirkelens synes svakt som en mørkeblå sirkelbue, og jeg har fjernet deler av sporene, slik at det som står igjen, viser hvordan hver av de fire modersolene beveger seg hver gang de befinner seg innenfor og utenfor storsirkelens periferi. Man ser tydelig på illustrasjonen at modersolpar a-b (hvit-rød), som roterer med uret, har et langt innerspor og et kort ytterspor, mens modersolpar c-d (grønn-gul) har et langt ytterspor og et kort innerspor. Det er også meget lett å se at det mye større forskjell på modersolpar c-d's sporlende utenfor i forhold til innenfor, enn hva tilfelle er for a-b's vedkommende. Illustrasjonen er laget på grunnlag av stillbilder av Jørgens animasjon, med antall rotasjoner N=8. |
| For at leseren skal forstå hvilket kjempearbeide som ligger bak de tallene som Lars har kommet frem til, bringer jeg her et utdrag fra en av de første mailene Lars sendte meg. Her kan man også lese hva slags tanker som ligger bak hans arbeide, og hvilke praktiske metoder han har anvendt for å kontrollere tallene. |
 |
 |
| Disse to illustrasjonenes retningspiler viser hvordan modersolparenes felles tyngdepunkt beveger seg fremover langs storsirkelens periferi (store piler), samtidig som de roterer innbyrdes i en "liten rotasjon" (små piler) - modersolpar a-b med uret og modersolpar c-d mot uret. Det er denne "lille rotasjonen" i ulik retning som gjør at modersolparenes klodespor får meget ulik lengde innenfor og utenfor storsirkelens periferi. Når f. eks modersol a beveger seg fremover både i den "store rotasjonen" rundt sentralsolen og i den "lille rotasjonen", slik som inntegnet med retningspiler på tegningen til venstre, vil den tegne et langt innerspor. På samme måten som modersol d, når den beveger seg i samme retning i begge rotasjonene, vil tegne et langt ytterspor. Modersol d's lange ytterspor vil dessuten bli meget lengre enn a's lange innerspor på grunn av krumningen på storsirkelens bue. Tegninger: Sverre Avnskog |
|
Her er Lars' kommentarer i sin siste mail til meg, der han presenterer de endelige tallene som han er kommet frem til:
"Jeg er nu kommet så langt med analysen af sporlængde-tallene, at jeg selv er tilfreds. Det problem som har "plaget" mig et stykke tid har jeg nu fået løst. Problemet bestod i at jeg ved de tidligere beregningsresultater kunne se at slutresultatet (forskellen på de gennemsnitlige procent-værdier) blev systematisk større, fra i hvert fald N=1000, og opad - men forskellen på resultaterne ved N=1E+06 og 1E+09, er så lille, at resultatet synes helt tilfældigt, når man tager beregningsusikkerheden i betragtning. Bl.a. for at få afklaret dette problem har jeg forøget beregningsnøjagtigheden, ved udvalgte N-værdier. For nylig skrev jeg til dig, at jeg havde fordoblet antallet af beregnede punkter. Nu har jeg fordoblet antallet to gange mere, så det højeste antal er 2240 (for en hel rotation). Ud fra de derved fremkommende resultater har jeg kunnet udlede, at den omtalte, tilsyneladende systematik, ikke bare er tilsyneladende ! Det viser sig at forskellen på to resultater, ved N=1E+06, hvor det ene er beregnet med dobbelt så mange punkter, som det andet, har næsten nøjagtig samme størrelse, som ved N=1E+09. (Dette gælder for både 'min' og 'din' udregningsmetode.) Jeg vedhæfter et regneark ('sporlængde-tal'), så du selv kan studere tallene, hvis du ønsker det. (I dette regneark kan man også se, at man, ved N=8, kan stole på de 4 første decimaler i sporlængderne og mindst 5 decimaler af procenttallene.) Desuden vedhæfter jeg et andet regneark ('sporlængde-tal 1'), hvor resultaterne ved de størst beregnede N-værdier er blevet mere nøjagtige (2240 punkter), og hvor der kun er vist de cifre / decimaler, som man kan stole på (under den forudsætning, at beregningerne er korrekt lavet, naturligvis). Sporlængderne har højst 5 decimaler, procenttallene højst 8 decimaler. (Jeg mener at disse resultater vil være bedre egnet til offentliggørelse, end dem du tidligere har modtaget.) Spørgsmålet om hvor mange decimaler man kan stole på i resultaterne ved N=1, har jeg fået afklaret på en anden måde, end ved de andre N-værdier. Det har vist sig, at der er noget specielt ved B-A bevægelsen, når N=1. Det opdagede jeg tilfældigt, da jeg arbejdede med beregningerne. I den næstnederste resultatlinje (interval-længde af spor), kan man aflæse den relative (gennemsnitlige) hastighed i det pågældende interval (mellem to punkter), da den benyttede tid, er helt ens for alle intervaller (dette gælder ved alle N-værdier). Men ved N=1 er alle B-A interval-længderne fuldstændig ens. Først troede jeg at der var noget helt galt med udregningerne, men da jeg studerede en tegning, jeg havde lavet, som illustrerer modersolenes placeringer, på forskellige bevægelses-stadier, ved N=1, indså jeg at hastigheden virkelig er konstant i dette tilfælde. (På tegningen kan man også se, at en tænkt linje mellem den pågældende modersol og det fælles tyngdepunkt, hele tiden har den samme retning i rummet.) At hastigheden (målt fra et koordinatsystem, som er i hvile i forhold til Centralsolen) er konstant, bevirker at procentdelene for B og A sporene vil være ca. 51,14 og 48,86. Jeg indså at det ikke er tilfældigt, at disse talværdier ligger så tæt på det tilsvarende resultat, hvis det fælles tyngdepunkt havde ligget helt stille på storcirklen (altså ved uendelig stor N-værdi). Det må (for mig at se) skyldes, at det kun er storcirklens krumning der forhindrer at tallene er 50 / 50 %. (Den helt rigtige forklaring er mere komplicered!) Hvis dette er en rigtig konklusion, må de pågældende procenttal være nøjagtig de samme, som hvis N var uendelig stor. Da jeg kender disse tal, med 8 decimalers nøjagtighed, fra resultaterne ved N=1E+09 (hvor B-procenten er ca.: 51,13706239), kan jeg sammenligne disse med værdierne ved N=1, hvor B-procenten er udregnet til ca.: 51,1370442. Derved har jeg konkluderet, at man stole på de 4 første decimaler i procenttallene (i hvert fald for B-A sporet), og, formodentlig, ca. de 2 første i sporlængderne. Selv om der altså synes at være noget specielt ved B-A bevægelsen og procentværdierne, ved N=1, mener jeg ikke, at man kan bruge det som et stærkt argument for planmodellen, da de samlede gennemsnitsprocenter jo er betydeligt længere fra 50 / 50. Desuden er der jo andre (i hvert fald tilsyneladende) problemer ved planmodellen, som du har vist." |
|
Før jeg presenterer tallene fra Lars beregninger, ønsker han at følgende informasjon fra ham settes inn: "De følgende sporlængde-tal har jeg beregnet ved hjælp af min computers regneark. (Jeg er ikke matematiker, eller lignende, men jeg har, privat, arbejdet meget med forskellige, forholdsvis komplicerede udregninger, bl.a. ved hjælp af regneark.) Jeg regner med at tallene er korrekte med det antal decimaler som er vist, da jeg har kontrolleret dem på forskellig vis - men jeg kan selvfølgelig ikke garantere det ! Jeg foreslår, at man, om muligt, får en matematiker (eller anden relevant fagmand) til at udføre beregningerne ! Udgangspunktet for mine beregninger er 'Model 1' (jeg har også lavet nogle beregninger efter en anden model, som jeg dog ikke længere tror på). - Jeg gik igang med at lave beregningerne for, om muligt, at forbedre noget af grundlaget for diskussionerne om 'planmodellen' og 'helixmodellen'. Jeg ønsker ikke at deltage i denne debat, offentlig (mens jeg ikke vil have noget imod at diskutere emnet under private former)! For at minimere risikoen for misforståelser, vil jeg gerne fastslå, at jeg ikke har taget endelig stilling til om det er 'planmodellen', eller 'helixmodellen', der er den rigtige. Efter min opfattelse er der stadig væk gode grunde til at være åben overfor begge muligheder! Lars Frølund Jensen. Til slut vil jeg lige skrive lidt om hvorfor jeg tog som givet, at alle modersolenes bevægelsesspor skulle være "halvvejs udenfor, halvvejs indenfor storcirklens periferi", ifølge V.m.L.. Jeg så, simpelt hen, ikke noget alternativ til denne konklusion, og tænkte slet ikke over den mulighed, at det kun skulle gælde for de fire modersoles samlede bevægelsesspor. Jeg kan nu se at man ikke kan udelukke denne mulighed - men jeg finder det stadig mest sandsynligt, at det gælder for hver enkelt af modersolene, hvis det er planmodellen som er i overensstemmelse med virkeligheden. (Hvis det er helixmodellen, som er den rigtige, må det jo under alle omstændigheder gælde både enkeltvis, og samlet / gennemsnitligt). Jeg mener at det burde være gjort klart, at det kun gælder de fire modersoles samlede bevægelsesspor, hvis det et det som er tilfældet." |
| Forklaring av tabellen: Jeg velger å bruke kolonnen med verdien N=8 for å forklare tallene. For lettere å forstå hvilken del av planetsporene de ulike bokstavene betegner, kan man også se på illustrasjonen litt lengre ned på siden, der de aktuelle delene av sporene er merket med samme bokstav som i tabelle. Øverst i kolonnen står N=8 og det betyr altså at tallene gjelder for det tilfellet der hvert modersolpar roterer 8 ganger i den "lille" rotasjonen for hvert omløp rundt sentralsolen. Lars begynner først med tallene for modersolpar c-d, og øverste tall viser den reelle lengden av modersol d's og c's planetspor i løpet av den avgrensede sekvensen beregningene gjelder for. Man ser av tabellen at modersol d's spor (gult), som befinner seg utenfor storsirkelens periferi, har en reell lengde på 62,45, mens modersol c's spor(grønt), som befinner seg innenfor storsirkelens periferi har en reell lengde på 28,79. Deretter kommer den prosentvise andelen modersol d's spor utgjør og etterpå den prosentvise andelen modersol c's spor utgjør. I dette tilfelle kan man se at modersolpar c-d vil ha en prosentvis fordeling utenfor/innenfor storsirkelens periferi på 68,45/31,55. Så følger de samme beregningene for modersolpar a-b's vedkommende. Først modersol b's reelle sporlengde (rødt -utenfor storsirkelens periferi) og så modersol a's reelle sporlengde (hvitt - innenfor storsirkelens periferi). Verdiene er henholdsvis 32,33 for b og 55,38 for a. Så følger den prosentvise fordelingen av sporlengdene utenfor og innfor, som er 36,86/63,14. De svarte tallene som følger deretter er et gjennomsnitt av den prosentvise fordelingen for de to modersolene i hvert par, som for verdien N=8 er, at modersolene i gjennomsnitt befinner seg utenfor/innenfor storsirkelens periferi i en prosentvis fordeling 65,79/34,21 - altså en forskjell på 31,59%. Dette må jo sies å være en verdi som ligger temmelig langt unna 50/50! |
 |
| En presentasjon av beregninger foretatt av Lars Frølund Jensen |